Probabilité conditionnelle

Définition - Notation

Soit `A` et `B`  deux événements d'un même univers tels que \(P(A) \neq 0\) .

La probabilité que l'événement \(B\) soit réalisé sachant que l'événement \(A\) est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) .

On la note \(P_{A}(B)\) .

Propriété

Soit `A` et `B`  deux événements d'un même univers tels que \(P(A) \neq 0\) . On a :

                                                         \(P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) .

Remarque

Calculer une probabilité conditionnelle revient à calculer une probabilité simple dans un nouvel univers : pour le calcul de \(P_{A}(B)\) ,  \(A\) devient le nouvel univers.

 Exemple  

Dans une classe de première de 30 élèves, il y a 18 filles et 12 garçons. Parmi les 18 filles, 10 suivent la spécialité mathématiques. On choisit au hasard un élève de cette classe, et on note \(A\) l'événement : « L'élève choisi est une fille » et \(B\) l'événement : « L'élève suit la spécialité mathématiques ». 

Pour calculer  \(P_A(B)\) , on se place dans l'univers constitué des 18 filles. Parmi les 18 filles, 10 suivent la spécialité mathématiques donc  \(P_A(B)=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}\) .

On retrouve ce résultat en calculant  \(\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)  :

\(A \cap B\)  est l'événement : « L'élève choisi est une fille qui suit la spécialité mathématiques ».

Parmi les 30 élèves de la classe, 10 sont des filles qui suivent la spécialité mathématiques donc  \(P(A \cap B)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\) .

Parmi les 30 élèves de cette classe, il y a 18 filles donc  \(P(A)=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}\) .

On en déduit donc que  \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{9}\)   et donc  \(P_A(B)=\dfrac{5}{9}\) . 

La propriété suivante se déduit immédiatement de la propriété précédente.

Propriété

Soit \(A\) et \(B\) deux événements d'un même univers tels que \(P(A) \neq 0\) . On a :                          

                                               \(P(A \cap B)=P_A(B)\times P(A)\) .

Exemple

Une urne contient des boules indiscernables au toucher. On sait que :

• 20 % des boules portent le n° 1 ;
  
• le quart des boules portant le n° 1 sont rouges.
  

On tire au hasard une boule de l'urne et on considère les événements suivants :

• \(A\) : « La boule porte le n° 1 » ;
  
• \(B\) : « La boule est rouge ».

Traduisons les données de l'énoncé en terme de probabilités : 

• 20 % des boules portent le n° 1, ce qui signifie que   \(P(A)=0{,}2\) .
  
• Le quart des boules portant le n° 1 sont rouges, ce qui signifie que   \(P_A(B)=\dfrac{1}{4}=0{,}25\) .
  

On peut en déduire la  probabilité que la boule porte le n° 1 et soit rouge :

\(P(A \cap B)=P_A(B) \times P(A)=0{,}25 \times 0{,}2=0{,}05\) .

La probabilité que la boule porte le n° 1 et soit rouge est donc égale à  \(0{,}05\) .